好的，下面为您总结了正态分布、指数分布、均匀分布、伯努利分布、多项分布（多重伯努利分布通常指多项分布）和泊松分布的概率密度/质量函数、期望和方差。

---

1. 正态分布 (Normal Distribution)

正态分布是连续型概率分布，由两个参数决定：均值 (\mu) 和方差 (\sigma^2)。

• 概率密度函数 (PDF):
  [ f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ]
  其中，(x \in (-\infty, +\infty))。
• 期望 (Expectation):
  [ E(X) = \mu ]
• 方差 (Variance):
  [ Var(X) = \sigma^2 ]

---

2. 指数分布 (Exponential Distribution)

指数分布是连续型概率分布，常用于描述独立随机事件发生的时间间隔，由一个参数 (\lambda) (率参数) 决定。

• 概率密度函数 (PDF):
  [ f(x | \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} ]
  其中，(x \ge 0) 且 (\lambda > 0)。
• 期望 (Expectation):
  [ E(X) = \frac{1}{\lambda} ]
• 方差 (Variance):
  [ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} ]

---

3. 均匀分布 (Uniform Distribution)

均匀分布可以是连续型或离散型。这里我们讨论连续型均匀分布，它在给定区间 ([a, b]) 内的任何一点的概率密度都是常数。

• 概率密度函数 (PDF):
  [ f(x | a, b) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{for } a \le x \le b \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} ]
  其中，(a < b)。
• 期望 (Expectation):
  [ E(X) = \frac{a+b}{2} ]
• 方差 (Variance):
  [ Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} ]

---

4. 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

伯努利分布是离散型概率分布，描述单次试验只有两种可能结果（成功或失败）的情况，由参数 (p) (成功概率) 决定。

• 概率质量函数 (PMF):
  [ P(X=k | p) = \begin{cases} p & \text{if } k=1 \ 1-p & \text{if } k=0 \end{cases} ]
  也可以写成：
  [ P(X=k | p) = p^k (1-p)^{1-k} ]
  其中，(k \in {0, 1}) 且 (0 \le p \le 1)。
• 期望 (Expectation):
  [ E(X) = p ]
• 方差 (Variance):
  [ Var(X) = p(1-p) ]

---

5. 多项分布 (Multinomial Distribution)

多项分布是离散型概率分布，是伯努利分布的推广，描述进行 (n) 次独立试验，每次试验有 (k) 种可能结果，每种结果有固定的概率 (p_1, \dots, p_k)。它给出了每种结果出现次数的联合概率。

• 概率质量函数 (PMF):
  [ P(X_1=x_1, \dots, X_k=x_k | n, p_1, \dots, p_k) = \frac{n!}{x_1!x_2!\dots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k} ]
  其中，(\sum_{i=1}^k x_i = n)，(x_i \ge 0) 均为整数，(\sum_{i=1}^k p_i = 1)，且 (p_i \ge 0)。
• 期望 (Expectation) (对于每个类别 (i) 的出现次数 (X_i)):
  [ E(X_i) = n p_i ]
• 方差 (Variance) (对于每个类别 (i) 的出现次数 (X_i)):
  [ Var(X_i) = n p_i (1-p_i) ]
  注意：多项分布还涉及协方差，对于 (i \ne j)，(Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j)。

---

6. 泊松分布 (Poisson Distribution)

泊松分布是离散型概率分布，描述在固定时间或空间间隔内，事件发生次数的概率，由参数 (\lambda) (平均发生率) 决定。

• 概率质量函数 (PMF):
  [ P(X=k | \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} ]
  其中，(k \in {0, 1, 2, \dots}) (非负整数) 且 (\lambda > 0)。
• 期望 (Expectation):
  [ E(X) = \lambda ]
• 方差 (Variance):
  [ Var(X) = \lambda ]

---